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小学生でも理解できる！東大・数学入試問題
円周率が３．０５より大きいことを証明せよ。
これは，2003年度・東京大学の数学入試問題です。
小学生（中学受験生）ガチの知識で理解できるように工夫しました。
次の「問題１」から「問題４」を解くことによって，自然に解き方がわかってきます。
問題１：
右の図の三角形ＡＢＣは，角Ａが36度で，辺ＡＢと辺ＡＣが10cmの二等辺三角形です。
辺ＢＤは，角Ｂを二等分する線です。
このとき，辺ＢＣと等しい長さの辺を，すべて答えなさい。
問題１の答え： 辺ＡＤ，辺ＢＤ
解説：
角Ｂ・角Ｃの大きさは，(180−36)÷2＝72（度）。
辺ＢＤは角Ｂの二等分線なので，角ＡＢＤも角ＣＢＤも，72÷2＝36（度）。
よって，角ＢＤＣは，180−(36＋72)＝72（度）。
したがって，三角形ＢＣＤも三角形ＡＢＤも，二等辺三角形になります。
よって，辺ＢＣ＝辺ＢＤ，辺ＢＤ＝辺ＡＤ となります。
（解説終わり）
問題１でわかった通り，辺ＢＣ＝辺ＢＤ＝辺ＡＤ です。それらの長さを ア とし，辺ＣＤの長さを イ とします。
三角形ＡＢＣと三角形ＢＣＤは相似ですから，
辺ＢＣ ： 辺ＣＤ ＝ 辺ＡＢ ： 辺ＢＣ です。
ア ： イ ＝ 10 ： ア となり，外項の積と内項の積は等しいので，
ア × ア ＝ イ × 10 という式が成り立ちます。
この式は，あとで使う重要な式なので，「重要式」と名付けておきます。
重要式 ア × ア ＝ イ × 10
では，次の問題に進みましょう。
問題２：
下左図の三角形ＡＢＣの，アの長さを使って，下右図のような長方形ＥＦＧＨを作りました。
この長方形ＥＦＧＨの面積を求めなさい。必要ならば，
重要式 ア × ア ＝ イ × 10
を使いなさい。
問題２の答え： 100cm2
解説：
下図の長方形ＥＦＧＨの中の，赤い正方形の面積は，ア × ア です。
また，青い長方形の面積は，イ × 10 です。
重要式 ア × ア ＝ イ × 10 によって，赤い正方形の面積と，青い長方形の面積が等しいのですから，長方形ＥＦＧＨの赤い正方形を切り取って，かわりに青い長方形をつけ加えても，同じ面積です。
つまり，下図の斜線部分の面積を求めれば良いことになります。
ところで，ア＋イは，下左図の辺ＡＣの長さのことですから，10cmです。
よって，斜線部分の面積は，10 × 10 ＝ 100(cm2) になります。（解説終わり）
問題３：
下図の長方形ＥＦＧＨの面積は100cm2です。このとき，正方形ＩＪＫＬの面積を求めなさい。
問題３の答え： 125cm2
解説：
長方形ＥＦＧＨを，ア×アの正方形◎と残りの長方形に分け，さらに長方形部分を☆と★の２つの同じ面積の長方形に分けます。
もちろん，◎と☆と★で100cm2です。
すると，正方形ＩＪＫＬにも，◎☆★の記号を書くことができ，記号を書いていない部分の面積は，5×5＝25(cm2) ですから，正方形ＩＪＫＬの面積は，100＋25＝125(cm2) です。
問題４：
右図の正方形ＩＪＫＬの面積が125cm2のとき，アの長さは6.1cmより長いことを証明しなさい。
問題４の答え：
アの１辺が6.1cmならば，正方形ＩＪＫＬの１辺は 6.1＋5＝11.1(cm)なので，面積は 11.1×11.1＝123.21(cm2) となるが，実際は125(cm2)なので，アは6.1cmより長い。
問題：
円周率が3.05より大きいことを証明せよ。
証明： 問題４でわかった通り，アの長さは6.1cmより長いです。
ということは，二等辺三角形ＡＢＣを10個並べた正十角形のまわりの長さは，6.1×10＝61(cm)より長いことになります。
半径10cmの円の円周も，61cmより長いです。
「円周＝直径×円周率」の，直径が 10×2＝20(cm)のときに，円周は61cmより長いので，円周率は，61÷20＝3.05 より大きいことが証明できました。
（証明終わり）
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