平面図形の難問１（2012日大豊山中）

　この問題は，解き方を知らないと手も足も出ない，とてもむずかしい問題です。

　図の，斜線部分の面積を求めることになります。

　　図のように，角ＥＢＣを○，角ＣＥＢを×とします。

　○と×の和は９０°です。

　　すると，図のように，角ＥＢＣを○，角ＣＥＢを×とします。

　○と×の和は９０°です。

　　しかも，三角形ＢＥＦは直角二等辺三角形ですから，辺ＢＥと辺ＦＥは同じ長さです。

　　よって，図のように正方形ＡＢＣＤをたてにのばして点Ｈ，点Ｉを定めると，三角形ＥＢＣと三角形ＦＥＩ（☆と☆）は合同です。

　　したがって，ＩＥの長さはＢＣと同じく18cm，ＦＩの長さもＥＣと同じです。

　　また，ＩＣの長さとＨＢの長さが等しく，ＡＢもＩＥも18cmですから，ＨＡとＥＣの長さも同じになります。

　　ここで，図のように点Ｇから上に直線を引くと，●の三角形と○の三角形とは相似です。
　ＡＢ：ＡＧ＝18：6＝3：1 ですから，

　図のように③，①を書き込むことができます。

　すると，ＨＡ，ＦＩ，ＥＣもすべて③になります。
　結局，ＨＩの長さは
　６＋①＋③＝６＋④ となり，
ＢＣの長さは18cmですから，
　６＋④＝１８ となります。
　④＝１８－６＝１２ なので，
①＝１２÷４＝３ となり，
③＝３×３＝９ となります。

　図のように，いろいろな長さがわかりました。

　斜線部分の面積は，長方形ＨＢＣＩから，よけいな三角形の面積を引くことで求めることができます。
　長方形ＨＢＣＩ＝27×18＝486
　三角形ＨＢＦ＝9×27÷2＝121.5
　三角形ＢＣＥ＝18×9÷2＝81
　三角形ＥＩＦ＝18×9÷2＝81
　斜線部分
＝486－(121.5＋81＋81)＝202.5