塾の生徒（もちろん小学生です）から，よく「円周率は小数第何位まで続くのか」と，質問されることがあります。
　「いつまでたっても終わらない。じゅんかんもしない。」と答えてきました。
　すると，「どうして，いつまでも終わらないことがわかるのか。」と，さらに質問されます。
　そのつど，「今の算数の知識では，まだ無理だ。大学生になったらわかるはずだ。」と返答してきました。
　今回，高校数学までの知識で理解できる証明をアップすることにしました。
　モトネタは2003年大阪大学の数学入試問題ですが，省略せずにすべてを解説するつもりで組み立て直したので，解説の分量は大幅に増えていると思います。
　微積分（三角関数・部分積分など）と，漸化式，数学的帰納法，背理法の知識があれば理解できるようになっています。

　　　円周率を分数で表すことができないことの証明(円周率が無理数であることの証明)